In de eerste drie delen van deze serie heb ik het uitgebreid gehad over push-or-foldstrategieën in heads-upsituaties. In zulke situaties kun je nauwkeurig uitrekenen wat de optimale strategie is, en hoe je daarvan moet afwijken als de tegenstander te veel of juist te weinig handen speelt. Nu is het natuurlijk zo dat het merendeel van de pokersituaties niet heads-up is. In dit artikel bespreek ik daarom hoe je ook in situaties met meer dan twee spelers in de hand een zo goed mogelijke push-or-foldbeslissing kunt nemen.
Het basisidee is simpel: wanneer er meer spelers in de hand zijn, worden alle ranges kleiner. Als ik nog tien big blinds heb, zal ik vanaf de button met minder handen all in gaan dan vanaf de small blind, om de eenvoudige reden dat er nu twéé mensen zijn die me kunnen callen. Ik heb dus minder fold equity, en zal bovendien na een call gemiddeld tegen een sterkere hand spelen. De big blind zal met iets sterkere handen callen, omdat mijn eerdere positie een betere hand verraadt. De small blind zal bovendien met sterkere handen callen omdat er nog iemand na hem in actie moet komen.
Iets soortgelijks geldt voor call-ranges: als de speler rechts van mij vanuit middenpositie all-in gaat, zal ik hem met minder handen callen dan in een heads-upsituatie. Ten eerste verwacht ik dat hij vanuit die positie een sterkere range heeft dan vanaf de small blind; ten tweede moeten er nog diverse andere mensen na mij in actie komen die toevallig een monsterhand zouden kunnen hebben.
Het is dus duidelijk naar welke kant we onze ranges moeten bijstellen als er nog meerdere spelers in de hand zijn. De grote vraag is natuurlijk: hoe ver? In heads-upsituaties konden we met wat rekenwerk een heel behoorlijk antwoord op dergelijke vragen vinden. In situaties met meerdere spelers wordt dat anders: naarmate er meer spelers zijn, wordt poker steeds minder een wetenschap, en steeds meer een kunst.
De wetenschap
Laten we – ik ben niet voor niets wiskundige – maar met de wetenschap beginnen. In het eerste deel van deze serie heb ik uitgelegd hoe je in een heads-upsituatie een strategie kunt vinden die voor beide spelers optimaal is. Het idee is om de ranges van de spelers om de beurt bij te stellen, tot een zogenaamd Nash-evenwicht is gevonden.
Bijvoorbeeld: begin met een willekeurige push-range voor de small blind. Zoek uit met welke handen de big blind tegen die range winstgevend kan callen. Ga vervolgens tegen die call-range weer de handen uitzoeken waarmee de small blind winstgevend all-in kan gaan. Bereken nu tegen déze range met welke handen de big blind winstgevend kan callen, enzovoort. Uiteindelijk zullen de twee ranges in de opeenvolgende stappen niet of nauwelijks meer veranderen, en daarmee is de optimale strategie gevonden.
Precies hetzelfde kunnen we doen in situaties met meerdere spelers. Leg een willekeurige strategie voor speler 1 vast; bepaal de beste strategie daartegen van speler 2; bepaal de beste strategie daartegen van speler 3, enzovoort. Ga als je alle spelers gehad hebt weer terug naar speler 1, net zo lang tot de ranges niet meer veranderen.
Het moge duidelijk zijn dat dit met veel spelers in de hand een veel ingewikkeldere procedure wordt dan met twee spelers. Al voor speler 2 is er een verschil: waar die heads-up alleen een range moest bepalen om mee te callen, heeft die speler – als hij tenminste een grotere stack heeft dan speler 1 – nu twee mogelijkheden: callen, of over-the-top all in gaan. Speler 3 moet vervolgens een strategie hebben voor wanneer speler 2 foldt, voor wanneer speler 2 callt, en voor wanneer speler 2 pusht – en in al die gevallen kan hij vaak zelf ook weer kiezen tussen callen en over-the-top komen.
Kortom: dit wordt zelfs voor 3 spelers al behoorlijk veel werk om even in een middagje met een Excelsheet en Pokerstove door te rekenen. Wanneer er 4 of meer spelers zijn, kunnen we gerust spreken van onbegonnen werk. Niet getreurd, want er zijn natuurlijk programmeurs die het leuk vinden om zulke wiskunde in de computer te stoppen. Een van de mooiste resultaten van zulk programmeerwerk is de Nash Calculator die hier te vinden is.
Een voorbeeld doorrekenen
Laten we met behulp van die calculator eens een voorbeeld doorrekenen. We spelen met blinds van 100/200/20, zitten op de cutoff, en hebben nog 10BB. Alle spelers na ons hebben nog grote stacks van zo’n 30BB. Met welke handen moeten we all-in gaan als onze tegenstanders optimaal spelen?
Klik om dit te bepalen op “New Hand”, en voer de gegevens in zoals in het screenshot hieronder (links). De “1” achter “structure” betekent dat voor de calculator gewonnen en verloren chips evenveel waard zijn. Dit verandert bijvoorbeeld als we aan een finaletafel zitten, waar de prijzenstructuur ervoor kan zorgen dat verloren chips veel kostbaarder zijn dan gewonnen chips. In zo’n geval kun je de calculator laten rekenen met het zogenaamde “Independent Chip Model” (ICM) door achter “structure” de percentages van de prijzen invoeren. In een 9-persoons Sit-and-Go zou dat dus bijvoorbeeld iets als “0.5, 0.3, 0.2” kunnen zijn.
Klik op “OK”, en na wat rekenen – de calculator herhaalt het bovenstaande “rondje langs alle spelers” maar liefst 500 keer – krijgen we de uitslag die hierboven (rechts) is weergegeven.
In deze tabel staat “PU” voor “push”; “CA” voor “call”, en “OC” voor “overcall”. De calculator houdt geen rekening met de mogelijkheid dat er in extreme situaties ook nog wel eens een over-overcall kan zijn, of met het feit dat een speler met een grotere stack kan raisen in plaats van callen. Die details zullen de strategie maar zelden sterk beïnvloeden.
We zien in de uitslag dat we, als alle spelers optimaal spelen, het beste all-in kunnen gaan met 32,9% van onze handen. De button moet dan callen met 11,1% van zijn handen. Als de button callt, moet de small blind callen met 5,9% van zijn handen, of – als de button callt maar de small blind foldt – de big blind moet callen met 6,3% van zijn handen. Foldt de button na onze push, dan moet de small blind callen met 15,2% van zijn handen – enzovoort.
Met welke handen gaan we all-in?
De volgende vraag is natuurlijk: met wélke 32,9% van onze handen moeten we all-in gaan? Ook daarop geeft de calculator antwoord. Na een klik op “Display Range” krijgen we de volgende mooie tabel te zien:
Groene handen zijn de handen die we moeten pushen; rode handen degene die we moeten folden. Is de kleur erg fel, dan is het een grote fout om de hand niet te pushen of te folden. Is de kleur bijna wit, dan is de verwachtingswaarde van pushen en folden vrijwel gelijk, en maakt de beslissing dus niet heel veel uit. Dit kun je gebruiken om je spel al iets aan te passen aan spelers die iets te los of juist te tight zijn: je kunt dan net iets meer van de lichtgekleurde handen toevoegen of juist weglaten. Meer daarover later in dit artikel.
Met de Nash Calculator valt goed te zien hoeveel invloed onze positie heeft op een beslissing. Als we alleen onze positie wijzigen, maar de rest van de situatie hetzelfde houden (dus: 10BB bij blinds van 100/200/20, alle andere spelers 30BB) vinden we dat we vanaf de hijack met 27,4% van onze handen all-in moeten gaan; vanaf de button met 38%, en vanaf de small blind met maar liefst 61,7%.
We zien dat het verschil tussen de ranges vanaf de small blind en de button enorm is (maar liefst 23,7%), en dat de verschillen daarna beduidend kleiner worden. Dit is een regel die algemeen opgaat. Speel vooral veel met de Nash Calculator, om een goed gevoel te krijgen voor hoe ranges van je positie kunnen afhangen.
De kunst
Een optimale strategie zoals de Nash Calculator die bepaalt is natuurlijk nog niet zaligmakend. We willen als pokerspelers niet alleen het spelletje perfect spelen tegen hypothetische perfecte tegenstanders: we willen juist spelen tegen tegenstanders die fouten maken, en vervolgens die fouten zo veel mogelijk uitbuiten. De Nash Calculator geeft dus een goed uitgangspunt voor onze shove- en callranges, maar we moeten nu nog bepalen hoe we die ranges aanpassen als onze tegenstanders fouten maken.
Hier komt het “kunst”-deel van het poker om de hoek krijgen. De kunst is natuurlijk om te bepalen wie van onze tegenstanders te los of te tight zijn, en om zo goed mogelijk in te schatten hoevéél te los of te tight die spelers dan zijn. In het ideale geval weet je dat natuurlijk doordat je al heel veel handen van de betreffende speler gezien hebt, en je je precies herinnert met welke handen hij bereid is in een bepaalde situatie een all-in te callen. In de praktijk is het leven zelden zo mooi, en zul je moeten afgaan op wat grove indrukken, een paar recent gespeelde handen, de vraag of de speler op tilt is of niet, het feit dat zijn vriendin staat te kijken, enzovoort. Stof voor een artikel op zich, maar laten we er voor nu van uitgaan dat je op de een of andere manier een redelijke read hebt gekregen op hoe je tegenstanders spelen. Hoe bepaal je dan je ranges?
In principe zijn hiervoor een Excelsheet en Pokerstove weer voldoende. Maar daarmee wordt dit wel een klusje voor de echte liefhebbers… We zullen zo weer een geautomatiseerde oplossing zien, dus wie niet van gereken houdt kan het lezen de onderstaande puntjes gerust overslaan! Hoe dan ook, het idee is als volgt:
1) Zet alle mogelijke spelverlopen die beginnen met een push op een rijtje. Push-fold-fold-fold, push-fold-fold-call, push-fold-call-fold, push-fold-call-overcall, enzovoort.
2) Bepaal op elk van die uitkomsten de kans. Als je de button, small blind en big blind bijvoorbeeld call-ranges van 10%, 20% en 30% hebt gegeven, en dus fold-percentages van 90%, 80% en 70%, is de kans op het verloop push-fold-fold-fold 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,504, oftewel 50,4%. Doe dezelfde berekening voor alle andere spelverlopen – waarbij je dus ook moet bedenken met welke range iemand overcallt of over-the-top komt.
3) Kies een starthand, en bereken voor elk spelverloop met bijvoorbeeld Pokerstove de equity. Vermenigvuldig die equity met de bijbehorende kans op dat spelverloop, en tel de resultaten voor alle spelverlopen op.
4) Is het resultaat groter dan 0, dan is een push dus beter dan een fold, en kunnen we deze hand in onze range opnemen. Kies vervolgens een andere hand, en ga weer naar stap 3. (Hier wordt het gebruik van een spreadsheet natuurlijk erg handig, dan hoef je niet steeds dezelfde getallen in te typen.) Je hoeft natuurlijk niet alle 169 starthanden op deze manier langs te lopen: als je hebt uitgerekend dat je J7o moet folden kun je ervan uitgaan dat datzelfde geldt voor J2o-J6o. De kunst is dus om de “grenshanden” te vinden, en dat is iets waar je met wat oefening steeds beter in wordt.
Zoals gezegd: bovenstaande berekening valt met Excel, Pokerstove en een half uurtje vrije tijd nog wel te doen, maar na zes van dergelijke berekeningen ben je zulk werk behoorlijk zat. Gelukkig is er ook hier weer software die dit alles een stuk makkelijker maakt.
SitNGo Wizard
Een bekend programma is het programma SitNGo Wizard, dat je voor een proefperiode van 30 dagen hier kunt downloaden. Na die 30 dagen kost het programma $99 – een aardig bedrag, maar voor de echte enthousiasteling is het dat zeker waard. Je kunt met SitNGo Wizard namelijk niet alleen zelf bedachte handen doorrekenen; je kunt het programma ook gebruiken om hele toernooigeschiedenissen in te lezen, en zo te ontdekken waar je de goede en de verkeerde beslissingen hebt gemaakt. Houd er daarbij wel rekening mee dat het gebruik van dit programma door bijvoorbeeld PokerStars alleen wordt toegestaan op de momenten dat je niet speelt. Analyseren na afloop mag dus; je door het programma laten adviseren terwijl je speelt niet.
Laten we met SitNGo Wizard ook eens een voorbeeld doorrekenen. We zijn weer in dezelfde situatie: 10BB op de cutoff, bij blinds van 100/200/20, met tegenstanders met stacks van zo’n 30BB. Ditmaal weten we echter dat onze tegenstanders allemaal flink aan de tighte kant zijn. Laten we zeggen dat ze allemaal met ongeveer twee derde van de optimale range (die we hierboven met de Nash Calculator hebben bepaald) zullen callen.
Start SitNGo Wizard, en klik op “Analyze a new game”. Er komt nu een invoerscherm waarin je alle gegevens over blindniveau en stackgroottes kunt invoeren. Helaas zijn er alleen voorgeprogrammeerde blindniveaus, dus het is soms even zoeken naar een toernooistructuur waarin het niveau dat je zoekt voorkomt. Daarbij kun je natuurlijk best alle bedragen bijvoorbeeld door tien delen, of met twee vermenigvuldigen – zolang de verhoudingen maar hetzelfde blijven. In dit voorbeeld heb ik dat gedaan, en in plaats van 100/200/20 gekozen voor 1000/2000/200. Zorg ook dat het vakje “auto-adjust last stack” uit staat. In ons voorbeeld ziet het invoerscherm er dan zo uit:
Je moet hierbij altijd voor één speler een hand kiezen; die speler wordt dan de “Hero” waarvoor de ranges uitgerekend worden. Welke hand je kiest maakt niet uit; ik heb hier voor een paar achten gekozen. Merk verder op dat SitNGo Wizard altijd bij “UTG” begint te tellen; dat is in het geval met vier spelers natuurlijk hetzelfde als de cutoff.
Nadat we op “OK” hebben geklikt komen we in een scherm met een layout die ik zelf heel moeilijk leesbaar vind, dus het eerste wat ik doe is op “Option: $” klikken en “Graphic game view” uitschakelen. Klik daar ook meteen op “chip equity mode”, zodat de ICM-berekeningen worden uitgezet.
De volgende stap is om onder “Call%” de geschatte ranges van onze tegenstanders in te gaan voeren. SitNGo Wizard vult hier zelf al percentages van “average” spelers in (die je ook kunt veranderen in “loose”, “tight”, enzovoort), maar het is veel beter om zelf precieze percentages te kiezen. Klik daarvoor op het call-percentage, en voer in het scherm dat je krijgt alle geschatte percentages in.
Dit is voor de latere posities even wat werk, want SitNGo-wizard houdt wel rekening met over-pushes, over-over-pushes, enzovoort. Flatcallen is daarentegen hier geen optie. Dat maakt in het algemeen niet zo heel veel uit: zolang de stackverschillen niet ál te groot zijn, zal vrijwel iedereen die callt ook bereid zijn all-in te gaan na een overshove. Zodra de grootste stacks vier of meer keer zo groot zijn als de shove-stack, wordt dat natuurlijk een ander verhaal. In dat geval worden de resultaten die SitNGo Wizard geeft dus iets minder betrouwbaar, al zal de orde van grootte in het algemeen nog wel juist zijn. (Ik ken zelf helaas geen programma dat zowel met flatcalls als met overshoves rekening houdt.)
Voor de big blind in ons voorbeeld ziet het invoerscherm er uiteindelijk als volgt uit:
Hier heb ik om een tighte speler te simuleren van alle percentages uit de Nash Calculator (zie rechts in de eerste figuur in dit artikel) twee derde genomen. Bijvoorbeeld: de Nash Calculator zegt dat de big blind na een push en twee folds 26% van zijn handen moet spelen; twee derde daarvan is 17.3%. Voor de situaties die niet met “Hero Push” beginnen heb ik de standaardinstelling (hier: 9%) laten staan; we zijn immers toch niet in die situaties geïnteresseerd. Voor de situatie dat zowel cutoff áls button áls small blind all in gaan – een situatie waar de Nash Calculator geen rekening mee houdt – heb ik voor de big blind een range van 0.9% (AA en KK) ingevoerd.
Als we op deze manier alle percentages hebben ingevoerd, zien we dat SitNGo Wizard door middel van een groen gedrukt “Push” aanbeveelt om met onze hypothetische hand 88 all in te gaan – maar dat hadden we met die hand waarschijnlijk zelf ook wel bedacht. Belangrijker: het programma geeft de range waarmee een push winstgevend is – in dit geval 78%. Klikken op de range geeft weer een mooie grafische weergave:
Blauwe handen zijn de handen die we moeten pushen, roze handen de handen die we moeten folden, en de groene hand is het grensgeval.
Merk op hoe enorm het verschil is met het resultaat uit de Nash Calculator: waar we tegen ideale tegenstanders met 32,9% van onze handen all in moeten gaan kunnen we tegen deze veel te tighte tegenstanders met maar liefst 78% van onze handen pushen! Dit is natuurlijk een vrij extreme situatie, waarin alle drie de spelers te tight zijn, maar ook wanneer bijvoorbeeld alleen de button te tight is zal het verschil al fors zijn.
Ontwikkel gevoel
Ook hier geldt dus weer: speel vooral veel met de software om een goed gevoel te krijgen voor het veranderen van je ranges als de stijl van je tegenstanders verandert. Zoals uit dit voorbeeld blijkt: denk vooral niet dat het speltheoretische optimum dat een Nash Calculator berekent ook in alle praktische situaties het beste spel oplevert! Dat laatste geldt nog veel meer voor de push-or-foldcharts waar veel spelers graag mee werken: ze geven vaak een prima richtlijn, maar het blijft belangrijk om te weten hoe je van die richtlijn moet afwijken – juist dáármee verdien je uiteindelijk de meeste chips.
Het is overigens een leuke oefening om ook de optimale strategieën voor de tegenstanders uit de Nash Calculator in SitNGo Wizard in te voeren. (Omgekeerd kan trouwens ook: SitNGo Wizard heeft een optie om automatisch een hand door de Nash Calculator te laten doorrekenen.) Als we dat doen, raadt SitNGo Wizard ons aan om met 31,5% van onze handen all in te gaan. Een resultaat dat redelijk bij dat uit de Nash calculator (32,9%) in de buurt komt, al is het niet precies hetzelfde.
Het verschil komt zoals gezegd door de kleine verschillen in de aannames: SitNGo Wizard laat zoals gezegd alle spelers pushen, de Nash Calculator laat spelers overcallen. Bovendien neemt de laatste geen over-overcalls mee. We zien dat die verschillen de resultaten inderdaad niet enorm beïnvloeden, maar wel een klein beetje. Gelukkig zijn de handen waarvoor de twee benaderingen verschillen precies de grenshanden die in equity toch al weinig opleveren, dus dergelijke kleine verschillen zullen onze winrate nauwelijks beïnvloeden. Veel belangrijker is het om in te zien wanneer onze tegenstanders te tight of te los zijn – zoals we gezien hebben kan dat verschillen van tientallen procenten in onze ranges tot gevolg hebben!
Tot slot
Goed, daarmee zijn we er wel zo’n beetje. Wie deze serie van vier artikelen heeft doorgeworsteld, zal een heel aardig idee hebben van hoe hij in de praktijk goede push-or-foldbeslissingen kan nemen. Daarmee begint natuurlijk het echte werk pas, want zoals ik tot vervelens toe gezegd heb is het belangrijkste ingrediënt in zulke beslissingen een enorme berg ervaring. Wie echt beter wil worden, wordt dat niet door het lezen van deze vier artikelen, maar door daarna zelf situaties door te gaan rekenen, zo de nodige intuïtie op te doen, en daar vervolgens aan de pokertafel gebruik van te maken.
Terwijl jullie dat allemaal gaan doen, ga ik eens nadenken over een onderwerp voor een volgend artikel. Daarvoor wordt het hoog tijd, want het leven van een pokerspeler bestaat natuurlijk niet alleen uit preflop all-insituaties!
Knap stuk weer Marcel, met belangstelling gelezen.
Goed stuk Marcel. Gebruikte vaak de charts uit Kill Everyone maar ga dit zeker zelf ook een aantal malen uitrekenen! Wederom dank voor dit artikel!
Leuk stuk Marcel! Ik heb de afgelopen maanden ook extreem veel zitten rekenen en experimenteren. En hoe meer werk je doet, hoe meer je gaat zien hoe dynamisch het is. En hoeveel factoren je EIGENlijk ook nog mee wil nemen in je beslissing. Stackdieptes van je tegenstanders, je eigen image, gameflow, bubble factoren, je eigen skill-overschot/ utility value(exploiteerbaarheid van je tegenstanders), de invloed van de top van je range minopenen, etc. Dus sluitende tabellen ga je nooit krijgen daar kom je dan vrij snel achter. Maar dat geeft dus niet, want dan heb je inderdaad al zo veel zitten rommelen dat je een aardig gevoel voor de juiste aanpassingen ontwikkeld hebt 🙂
Prachtig verhaal weer Marcel !
Wilde eerst zeggen dat het dom is om dit allemaal op het internet te zetten. Maar als jij het niet doet doet een ander het wel.
Vond de 1e 3 ook delen ook al goed maar hier ga je er imo nog iets dieper op in wat ik eigenlijk jammer vindt aangezien ik alles al toepaste/gebruikte weinig van dit stuk leer en het de crux is in mtt/sng play. Desalniettemin wilde ik wel zeggen dat ik het een zeer goed artikel en een mooie opsomming. Als dat al niet duidelijk was.
Speel je zelf ook veel online eigenlijk moet haast wel met deze info? Zoja welke vormen mtt/sng welke mtt/sngs?
Nog een vraag jij zegt dat nash en wiz alleen verschillen in percentages door een andere manier van berekenen door de factoren: nash iedereen laat callen, wiz iedereen laat pushen en door de ooc ranges die wiz b.v. wel meeneemt. Jij geeft ook aan dat vaak deze verschillen miniem zijn bedoel je dit in cEV of ook in $EV.
In cEV heb ik het nooit uitgebreid genoeg vergeleken maar ik merk als ik in $EV berekeningen doe dat pushranges in wizz en nash wel degelijk af en toe grote verschillen opleveren iirc(gebruik zelf momenteel alleen maar nash omdat dat gebaseerd is op game optimum en veel fijner is doordat je beter het be punt kan zien en de -diff ranges) hoe kan dit?
Is er trouwens een knop waar wiz wel de optimale game optimum ranges automatisch pakt i.p.v. dat je het zelf moet invullen?
*Hoop dat dat niet teveel vragen waren toch wel beetje een fanboy =)
Onbegrijpelijk trouwens dat dit artikel zo weinig reacties heeft.